প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একটি পাত্রে 81 লিটার দুধ রয়েছে। পাত্রের  $\frac{1}{3}$ অংশ দুধকে পানি দ্বারা Replace করা হলো। এরপর আরো একবার  $\frac{1}{3}$ অংশ পানি মিশ্রিত দুধকে পানি দ্বারা Replace করা হলো। নতুন মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত কত?

Shortcut সূত্র ব্যবহার করে এবং জটিলতা পরিহার করে অঙ্কটি করলে দ্রুত সমাধানে পৌঁছে যাওয়া সম্ভব।

এবার সূত্রটি দেখুনঃ $x {\left(1 - \frac{y}{x}\right)}^n$

এখানে, x = মোট দুধের পরিমাণ = 81 লিটার;

y = যতটুকু দুধ সরিয়ে পানি Replace করা হয়েছে $= \left( 81 এর \frac{1}{3}\right)$  = 27 লিটার;

n = কাজটি কতবার করা হয়েছে = 2 বার ।

অতএব, দুইবার পানি দ্বারা দুধকে Replace করার পর তাতে দুধ আছে

$81 {\left(1-\frac{27}{81}\right)}^2 = {\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2 = 81 \times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2 = 81 \times \frac{4}{9}$ = 36 লিটার

∴ ঐ মিশ্রণে পানি আছে = 81 – 36 = 45 লিটার

অতএব, নতুন মিশ্রণে দুধ : পানি = 36 : 45 = 4 : 5 (answer)

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 400 মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন একই দিকে 5kmph বেগে চলমান একজন লোককে 40 সেকেন্ডে অতিক্রম করে। লোকটিকে অতিক্রম করার 20 মিনিট পরে ট্রেনটি স্টেশনে পৌঁছাল। লোকটি কখন স্টেশনে পৌছাবে? ট্রেনের বহুল ব্যবহৃত Shortcut সূত্রের মাধ্যমেও এই অঙ্কের সমাধান সম্ভব ।

আমরা জানি, $t = \frac{d_{1 }+d_2}{v_1 - v_2}$ [ট্রেন ও লোকটি একই দিকে গতিশীল বলে]

$\Rightarrow 40 = \frac{400 + 0}{{\displaystyle \frac{\left(v_1-5\right)5}{18}}}$ [এখনে, t = 40; ট্রেনের দৈর্ঘ্য d₁ = 400 মিটার; লোকটির দৈর্ঘ্য ট্রেনের সাপেক্ষে, d₂ = 0; v₁ = ট্রেনের বেগ; v₂ = লোকটির বেগ]

$\Rightarrow \left(v_1 - 5\right) = \frac{400 \times 18}{40 \times 5}$

$\Rightarrow v_1 - 5 = 36$

∴ v₁ = 36 + 5 = 41

অর্থাৎ ট্রেনটির গতিবেগ 41 kmph. [ $\because$ 20 মিনিট $= \frac{1}{3}$ ঘণ্টা]

এখন, এই $\frac{41}{3} km$ পথ লোকটি 5 kmph বেগে কত সময়ে অতিক্রম করবে সেটাই বের করতে হবে।

আমরা জানি, প্রয়োজনীয় সময় = দূরত্ব / বেগ  $= \frac{{\displaystyle \frac{41}{3}}}{5} = \frac{41}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{41}{15}$ = 2 ঘণ্টা 44 মিনিট (answer)

উল্লেখ্য  $\frac{41}{15}$ ঘণ্টাকে কিভাবে 2 ঘণ্টা 44 মিনিটে আনা হলো তা লক্ষ্য করুনঃ 

অতএব, $\frac{41}{15} = 2 \frac{11}{15}$ ঘণ্টা

এখানে, 1 ঘণ্টা = 60 মিনিট 

∴ $\frac{11}{15}$ ঘণ্টা $= \frac{60 \times 11}{15}$ = 44 মিনিট

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, স্থির পানিতে নৌকার বেগ 24 kmph এবং স্রোতের বেগ 4 kmph. স্রোতের প্রতিকূলে B হতে C তে যেতে যে সময় লাগে স্রোতের অনুকূলে A হতে B তে যেতে তার চেয়ে 36 মিনিট সময় কম লাগে। B হতে C এর যে দূরত্ব, A হতে B এর দূরত্ব তার চেয়ে 4 km বেশি। A এবং B এর মধ্যকার দূরত্ব কত?

ধরি, A হতে B এর দূরত্ব . km

এবং B হতে C এর দূরত্ব (x – 4) km

দেওয়া আছে, স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = 24 + 4 = 28 kmph

∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = 24 – 4 = 20 kmph

প্রশ্নমতে, $\frac{x-4}{20} - \frac{x}{28} = \frac{36}{60}$ [মিনিটকে ঘণ্টায় পরিণত করতে 60 দ্বারা ভাগ করতে হয়]

$\Rightarrow \frac{x \left(x-4\right) -5x}{140} = \frac{36}{60}$

$\Rightarrow 7x -28 -5x = \frac{3 \times 140}{5}$

$\Rightarrow 2x - 28 = 84$

$\Rightarrow 2x = 84 + 28 = 112$

$\therefore x = \frac{112}{2} = 56 km \left(answer\right)$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, A এবং B দুটি স্টেশন যাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 390km. একটি ট্রেন A হতে সকাল 10 টায় 65kmph বেগে B এর দিকে রওনা দিল এবং অন্য একটি ট্রেন 11 টায় B হতে 35kmph বেগে A এর দিকে রওনা দিল। তাদের সাথে কখন সাক্ষাৎ হবে?

ধরি, ট্রেন দুটি সকাল 10 টার পর x ঘণ্টা পরে সাক্ষাৎ করবে। এখানে উল্লেখ থাকে যে প্রথম ট্রেনটি x ঘণ্টা চলবে এবং দ্বিতীয় ট্রেনটি (x – 1) ঘণ্টা চলবে। কারণ এটি 1 ঘণ্টা পরে রওনা দিয়েছিল।

প্রশ্নমতে, $65x + 35 (x - 1) = 390$ [ $\because$ দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময় ]

$\Rightarrow 65x+35x - 35 = 390$

$\Rightarrow 100x = 390 + 35 = 425$

$\Rightarrow x = \frac{425}{100}$

$\therefore x = 4 \frac{1}{4}$ ঘণ্টা  = 4 ঘণ্টা 15 মিনিট ।

অতএব, ট্রেন দুটি 10 টার 4 ঘণ্টা 15 মিনিট পরে অর্থাৎ 2.15 তে সাক্ষাৎ করবে।